Sou­ve­nirs de fractales

Sep 25, 2010 | Architectures, Histoires de gens | 9 comments

Com­men­cer sa soi­rée en regar­dant le che­min tor­tueux de l’A­lice de Tim Bur­ton (une bien belle his­toire presque antique ser­vie par une réa­li­sa­tion approxi­ma­tive et des effets spé­ciaux pour le moins bâclés) et la ter­mi­ner par un docu­men­taire sur les frac­tales de Benoit Man­del­brot a quelque chose de sur­réa­liste, d’au­tant que je me suis réveillé sur le cana­pé avec les images d’un docu­men­taire sur la retraite.
Les frac­tales de Man­del­brot, un uni­vers que les mathé­ma­ti­ciens tra­di­tion­nels rejettent, une nou­velle théo­rie qui atti­ra à son fon­da­teur les foudres de ses col­lègues scien­ti­fiques. Dans ce nou­vel objet de la science, il y avait pour moi la part de mys­tère que des gens comme Ste­phen Haw­king venaient de révé­ler, une science nou­velle qui phi­lo­so­phi­que­ment, mais éga­le­ment pour tous les domaines de la connais­sance humaine, remet­tait en cause les notions de fini­tude, intro­dui­sant la pos­si­bi­li­té d’une part d’in­fi­ni dans le fini, et pour­quoi pas, l’œuvre de Dieu, Ste­phen Haw­king qui vient d’af­fir­mer que fina­le­ment, Dieu avait bien crée l’u­ni­vers, mais selon les lois de la physique…
Je suis res­té cap­ti­vé par ce docu­men­taire où Man­del­brot explique com­ment il a eu la pre­mière intui­tion concer­nant l’exis­tence des figures frac­tales en regar­dant les estampes d’Ho­ku­sai. Dans la grande vague de Kana­ga­wa, comme dans cette autre estampe nom­mée Fuji dans l’o­rage, on com­prend que les motifs des vagues et des nuages sont tous iden­tiques et que la struc­ture de l’en­semble n’est que la répé­ti­tion d’un seul motif. Hoku­sai avait don­né à son œuvre, aux alen­tours de 1830, un sys­té­ma­tisme appli­cable à la nature. La nature ne serait donc pas tant que ça ins­pi­rée par le chaos.
Les tra­vaux de Man­del­brot s’ap­puie sur plu­sieurs tra­vaux antérieurs :

Le para­doxe d’A­chille et de la tortue

Zénon d’É­lée, mathé­ma­ti­cien grec, ten­ta de sou­te­nir la thèse par­mé­ni­dienne et sophis­tique de la non-exis­tence du mou­ve­ment. Pour cela il rédi­gea ses célèbres para­doxes selon les­quels notam­ment, Achille ne pour­ra jamais par­cou­rir la même dis­tance que la tortue.

La pous­sière de Cantor

Figure géo­mé­trique simple, c’est la répé­ti­tion d’une forme qui ne trouve pas sa place dans la géo­mé­trie eucli­dienne (défi­nie comme un espace vec­to­riel ou de dimen­sion finie) puisque qu’en pre­nant un seg­ment 0–1, en le sépa­rant en trois espaces égaux et en enle­vant le mor­ceau médian, on se retrouve avec une figure qui, si elle est réité­rée, tend tou­jours vers 0, sans pour autant l’atteindre.

Le flo­con de Von Koch

Figure géo­mé­trique des­si­née bien avant les frac­tales par le mathé­ma­ti­cien Helge Von Koch, le flo­con (ou la courbe) de Von Koch est une figure dégra­dée sur cha­cun de ses seg­ments par la repré­sen­ta­tion de l’en­semble. Contour­née de manière récur­sive, la figure peut ain­si se repro­duire à l’in­fi­ni, en conser­vant comme motif spé­ci­fique le motif initial.

L’en­semble de Julia

Popu­la­ri­sés avec la publi­ca­tion des œuvres de Man­del­brot, les tra­vaux de Gas­ton Julia étaient tom­bés dans l’ou­bli. Man­del­brot ne fera qu’é­tendre la défi­ni­tion de l’ensemble de Julia qui est une repré­sen­ta­tion gra­phique de la récur­si­vi­té d’une équa­tion sur son propre résultat.

Les tra­vaux de Man­del­brot don­ne­ront lieu à la théo­rie des frac­tales. Lors­qu’il tra­vaillait chez IBM, c’est lui qui le pre­mier a com­pris d’où venaient les pro­blèmes de trans­mis­sion de don­nées par liai­son télé­phone en décou­vrant que les signaux étaient eux-même sujets à des fluc­tua­tions dont la répé­ti­tion de la fré­quence était mani­feste et repro­duc­tible. Il s’at­ta­cha éga­le­ment à ten­ter de com­prendre com­ment mesu­rer les lon­gueurs des côtes d’un lit­to­ral et déter­mi­na que la mesure pou­vait fluc­tuer en fonc­tion de l’é­chelle uti­li­sée. Plus l’é­chelle est petite, plus on se rap­proche de la mesure exacte, sans pour autant atteindre une mesure réelle. On intro­duit à la place de la lon­gueur, la notion de « rugo­si­té ».
Man­del­brot, sur la base du tra­vail de Julia, met­tra en forme sa propre équa­tion dans ce qu’on appelle aujourd’­hui l’en­semble de Man­del­brot, une icône mon­dia­le­ment connue, qui a même ins­pi­rée dans une cer­taine mesure le gra­phisme de la géné­ra­tion psy­ché­dé­lique, qui met en évi­dence le prin­cipe d’auto-simi­la­ri­té, de récur­si­vi­té de la figure géo­mé­trique et qui sur­tout intro­duit la notion d’in­fi­ni dans le champ d’é­tude du fini. L’a­van­tage de ces tra­vaux n’est pas qu’une simple inno­va­tion intel­lec­tuelle de la pen­sée mathé­ma­tique ; en effet on trouve dans le champ de la science et de l’in­dus­trie des appli­ca­tions pra­tiques, comme notam­ment la décou­verte des antennes frac­tales par Nathan Cohen, qu’au­jourd’­hui on trouve à grande échelle… dans nos télé­phones portables.