Commencer sa soirée en regardant le chemin tortueux de l’Alice de Tim Burton (une bien belle histoire presque antique servie par une réalisation approximative et des effets spéciaux pour le moins bâclés) et la terminer par un documentaire sur les fractales de Benoit Mandelbrot a quelque chose de surréaliste, d’autant que je me suis réveillé sur le canapé avec les images d’un documentaire sur la retraite.
Les fractales de Mandelbrot, un univers que les mathématiciens traditionnels rejettent, une nouvelle théorie qui attira à son fondateur les foudres de ses collègues scientifiques. Dans ce nouvel objet de la science, il y avait pour moi la part de mystère que des gens comme Stephen Hawking venaient de révéler, une science nouvelle qui philosophiquement, mais également pour tous les domaines de la connaissance humaine, remettait en cause les notions de finitude, introduisant la possibilité d’une part d’infini dans le fini, et pourquoi pas, l’œuvre de Dieu, Stephen Hawking qui vient d’affirmer que finalement, Dieu avait bien crée l’univers, mais selon les lois de la physique…
Je suis resté captivé par ce documentaire où Mandelbrot explique comment il a eu la première intuition concernant l’existence des figures fractales en regardant les estampes d’Hokusai. Dans la grande vague de Kanagawa, comme dans cette autre estampe nommée Fuji dans l’orage, on comprend que les motifs des vagues et des nuages sont tous identiques et que la structure de l’ensemble n’est que la répétition d’un seul motif. Hokusai avait donné à son œuvre, aux alentours de 1830, un systématisme applicable à la nature. La nature ne serait donc pas tant que ça inspirée par le chaos.
Les travaux de Mandelbrot s’appuie sur plusieurs travaux antérieurs :

Le paradoxe d’Achille et de la tortue

Zénon d’Élée, mathématicien grec, tenta de soutenir la thèse parménidienne et sophistique de la non-existence du mouvement. Pour cela il rédigea ses célèbres paradoxes selon lesquels notamment, Achille ne pourra jamais parcourir la même distance que la tortue.

La poussière de Cantor

Figure géométrique simple, c’est la répétition d’une forme qui ne trouve pas sa place dans la géométrie euclidienne (définie comme un espace vectoriel ou de dimension finie) puisque qu’en prenant un segment 0-1, en le séparant en trois espaces égaux et en enlevant le morceau médian, on se retrouve avec une figure qui, si elle est réitérée, tend toujours vers 0, sans pour autant l’atteindre.

Le flocon de Von Koch

Figure géométrique dessinée bien avant les fractales par le mathématicien Helge Von Koch, le flocon (ou la courbe) de Von Koch est une figure dégradée sur chacun de ses segments par la représentation de l’ensemble. Contournée de manière récursive, la figure peut ainsi se reproduire à l’infini, en conservant comme motif spécifique le motif initial.

L’ensemble de Julia

Popularisés avec la publication des œuvres de Mandelbrot, les travaux de Gaston Julia étaient tombés dans l’oubli. Mandelbrot ne fera qu’étendre la définition de l’ensemble de Julia qui est une représentation graphique de la récursivité d’une équation sur son propre résultat.

Les travaux de Mandelbrot donneront lieu à la théorie des fractales. Lorsqu’il travaillait chez IBM, c’est lui qui le premier a compris d’où venaient les problèmes de transmission de données par liaison téléphone en découvrant que les signaux étaient eux-même sujets à des fluctuations dont la répétition de la fréquence était manifeste et reproductible. Il s’attacha également à tenter de comprendre comment mesurer les longueurs des côtes d’un littoral et détermina que la mesure pouvait fluctuer en fonction de l’échelle utilisée. Plus l’échelle est petite, plus on se rapproche de la mesure exacte, sans pour autant atteindre une mesure réelle. On introduit à la place de la longueur, la notion de « rugosité ».
Mandelbrot, sur la base du travail de Julia, mettra en forme sa propre équation dans ce qu’on appelle aujourd’hui l’ensemble de Mandelbrot, une icône mondialement connue, qui a même inspirée dans une certaine mesure le graphisme de la génération psychédélique, qui met en évidence le principe d’auto-similarité, de récursivité de la figure géométrique et qui surtout introduit la notion d’infini dans le champ d’étude du fini. L’avantage de ces travaux n’est pas qu’une simple innovation intellectuelle de la pensée mathématique ; en effet on trouve dans le champ de la science et de l’industrie des applications pratiques, comme notamment la découverte des antennes fractales par Nathan Cohen, qu’aujourd’hui on trouve à grande échelle… dans nos téléphones portables.